BAB I - FUZZY SET THEORY

[KEMBALI KE MENU SEBELUMNYA]

DAFTAR ISI

1.Tujuan

2. Alat dan Bahan

3. Dasar Teori

4. Percobaan

5. Video

6.Download 

BAB I

FUZZY SET THEORY

 1.Tujuan[kembali]

1. Mengetahui konsep - konsep yang ada pada Fuzzy Logic
2. Mampu memahami konsep Fuzzy Logic
3. Mampu mengoperasikan konsep Fuzzy Logic pada Matlab

 2.Alat dan Bahan[kembali]

Alat yang digunakan yaitu Software Matlab

 3.Dasar teori[kembali]

Kata fuzzy berarti samar, kabur, atau tidak jelas. Logika atau fuzzy logic adalah pendekatan pemrosesan variabel yang memungkinkan beberapa kemungkinan nilai kebenaran (true value) diproses melalui variabel yang sama. 

I. Classical Set Theory

A. Konsep Dasar

    Misalkan S adalah himpunan tak kosong, disebut himpunan semesta di bawah ini, yang terdiri dari semua elemen yang mungkin diperhatikan dalam suatu konteks tertentu. Setiap elemen ini disebut anggota, atau elemen, dari S. Gabungan dari beberapa (hingga atau tak hingga) anggota dari S disebut himpunan bagian dari S. Untuk menunjukkan bahwa sebuah anggota s dari S termasuk dalam suatu himpunan bagian S dari S, kita tuliskan:

s∈S.    s \in S.

Jika s bukan anggota dari S, kita tuliskan:

s ∉ S.   s \notin S.

Untuk menunjukkan bahwa S adalah himpunan bagian dari S, kita tuliskan:

S ⊆ S.    S \subseteq S. 

Biasanya, notasi ini menyiratkan bahwa $S$ adalah himpunan bagian sejati (strictly proper subset) dari $S$ dalam arti bahwa terdapat paling tidak satu anggota $x \in S$, tetapi $x \notin S$. Jika $A$ dapat berupa $S \subseteq S$ atau $S = S$, maka kita tulis S ⊆ S.

Himpunan kosong dilambangkan dengan $\varnothing$. Suatu himpunan dari anggota tertentu yang memiliki sifat $P_1, P_2, \ldots, P_n$ akan dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya $A$, sebagai

$$A=\{a\mathrm{\mid }a\text{memiliki sifat }{P}_1,P_2,\dots ,P_n\}\mathrm{.}\mathrm{<br>}$$

Sebuah himpunan penting dan sering digunakan adalah ruang Euclidean berdimensi-$n$, yaitu $\mathbb{R}^n$. Suatu himpunan bagian $A \subseteq \mathbb{R}^n$ dikatakan konveks jika

$$x=[x1⋮xn]∈Adany=[y1⋮yn]$$

Untuk menyederhanakan notasi di seluruh bagian buku ini, jika himpunan semesta $S$ sudah ditentukan atau tidak menjadi perhatian, maka kita cukup menyebut salah satu himpunan bagiannya sebagai himpunan. Dengan demikian, kita dapat mempertimbangkan dua himpunan $A$ dan $B$ di dalam $S$, dan jika $A \subseteq B$ maka $A$ disebut himpunan bagian dari $B$.

Untuk setiap himpunan $A$, fungsi karakteristik dari $A$ didefinisikan sebagai:

$$X_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{jika } x \in A, \\ 0 & \text{jika } x \notin A. \end{cases}$$

Mudah untuk memverifikasi bahwa untuk dua himpunan $A$ dan $B$ di dalam himpunan semesta $S$, dan untuk setiap elemen $x \in S$, kita memiliki:

$$X_{A \cup B}(x) = \max \{ X_A(x), X_B(x) \},$$
$$X_{A \cap B}(x) = \min \{ X_A(x), X_B(x) \},$$

$$X_{\bar{A}}(x)=1-X_A(x)\mathrm{.}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$$

B. Teori ukuran dasar pada himpunan

    Misalkan 

$S$ adalah himpunan semesta dan $A$ adalah sebuah keluarga tak-kosong dari himpunan bagian $S$. Selanjutnya,

$$\mu :A\to [0,\mathrm{\infty }]$$

adalah suatu fungsi bernilai real tak-negatif yang didefinisikan pada (himpunan bagian dari) $A$, yang mungkin juga bernilai $\infty$.

Suatu himpunan $B$ di dalam $A$, yang dinyatakan sebagai elemen $A$ dengan $B \in A$, disebut himpunan nol (null set) terhadap $\mu$ jika $\mu(B) = 0$, di mana

$$\mu (B)=\{\mu (b)\mathrm{\mid }b\in B\}\mathrm{.}$$

$\mu$ dikatakan additif jika

$$\mu \left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{i=1}^n\mu (A_i)$$

untuk setiap koleksi hingga {A1,…,An} dari himpunan di dalam A yang memenuhi 

$\bigcup_{i=1}^n A_i \in A$ dan $A_i \cap A_j = \varnothing, \; i \neq j, \; i,j = 1,\ldots,n$.

$\mu$ dikatakan hitung-additif (countably additive) jika $n = \infty$ dalam arti di atas.

Selanjutnya, $\mu$ dikatakan subtraktif jika

$$A \in A, \quad B \in A, \quad A \subseteq B, \quad B - A \in A, \quad \text{dan} \quad \mu(B) < \infty$$

secara bersama-sama menyiratkan

$$\mu (B-A)=\mu (B)-\mu (A)\mathrm{.}$$

Dapat diverifikasi bahwa jika $\mu$ bersifat additif maka $\mu$ juga bersifat subtraktif. Sekarang, 

$\mu$ disebut ukuran (measure) pada $A$ jika $\mu$ bersifat hitung-additif dan terdapat himpunan tak-kosong $C \in A$ sedemikian sehingga $\mu (C)<\mathrm{\infty .}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$

II. FUZZY SET THEORY

    Dalam hal suatu elemen hanya memiliki keanggotaan parsial pada himpunan, kita perlu menggeneralisasi fungsi karakteristik ini untuk menggambarkan tingkat keanggotaan dari elemen tersebut dalam himpunan: nilai yang lebih besar menunjukkan derajat keanggotaan yang lebih tinggi.

    Untuk memberikan lebih banyak motivasi tentang konsep keanggotaan parsial ini, mari kita pertimbangkan contoh berikut.

Contoh 1.1. Misalkan S adalah himpunan dari semua manusia, digunakan sebagai himpunan semesta, dan misalkan

$$S_f = \{ s \in S \;|\; s \text{ adalah tua} \}.$$

    Maka S𝑓​ adalah himpunan bagian fuzzy dari 𝑆, karena sifat "tua" tidak didefinisikan dengan jelas dan tidak dapat diukur secara presisi: misalnya, seseorang yang berusia 40 tahun, tidak jelas apakah ia termasuk dalam himpunan tersebut atau tidak.

    Dengan demikian, untuk menjadikan himpunan bagian S𝑓 terdefinisi dengan baik, kita harus mengkuantifikasi konsep “tua”, sehingga kita dapat mengkarakterisasi himpunan bagian S𝑓 secara tepat dan ketat.

    Untuk saat ini, misalkan kita ingin menggambarkan konsep "tua" dengan kurva pada Gambar 1.1(a) menggunakan akal sehat, di mana satu-satunya orang yang dianggap "sangat tua (absolutely old)" adalah mereka yang berusia 120 tahun atau lebih, dan satu-satunya orang yang dianggap "sangat muda (absolutely young)" adalah bayi baru lahir.

    Sementara itu, semua orang lain bisa dianggap tua sekaligus muda, tergantung pada usia sebenarnya. Misalnya, seseorang yang berusia 40 tahun dianggap “tua” dengan derajat 0,5 dan pada saat yang sama juga “muda” dengan derajat 0,5 menurut kurva pengukuran yang digunakan. Kita tidak bisa mengeluarkan orang ini dari himpunan S𝑓 yang dijelaskan di atas, dan tidak bisa memasukkannya sepenuhnya juga.

       Dengan demikian, kurva yang diperlihatkan pada Gambar 1.1(a) menetapkan suatu ukuran matematis untuk “ketuaan” seseorang, dan dengan demikian dapat digunakan untuk mendefinisikan keanggotaan parsial dari setiap orang yang berkaitan dengan himpunan S𝑓​ yang dijelaskan di atas.

        Tidak ada aturan yang tetap, unik, dan universal untuk memilih fungsi keanggotaan untuk suatu “himpunan fuzzy” pada umumnya: fungsi keanggotaan yang benar dan baik ditentukan oleh pengguna berdasarkan pengetahuan ilmiah, pengalaman kerja, dan kebutuhan nyata untuk aplikasi tertentu yang sedang dibahas.

Contoh 1.2. Misalkan $S$ adalah (semesta) himpunan semua bilangan real, dan misalkan

$$S_f=\{s\in S\mathrm{\mid }s\text{ positif dan besar}\}\mathrm{.}$$

Himpunan bagian $S_f$ ini tidak terdefinisi dengan baik dalam teori himpunan klasik, karena meskipun pernyataan “$s$ positif” adalah jelas, pernyataan “$s$ besar” adalah samar. Namun, jika kita memperkenalkan suatu fungsi keanggotaan yang masuk akal dan bermakna untuk suatu aplikasi tertentu dalam karakterisasi atau pengukuran sifat “besar,” misalnya fungsi yang ditunjukkan pada Gambar 1.2 yang dikuantifikasi dengan fungsi

$$\mu_{S_f}(s) = \begin{cases} 0, & \text{jika } s \leq 0, \\ 1 - e^{-s}, & \text{jika } s > 0, \end{cases}$$

maka himpunan fuzzy $S_f$ yang terkait dengan fungsi keanggotaan $\mu_{S_f}(s)$ ini terdefinisi dengan baik.

Demikian pula, sebuah fungsi keanggotaan untuk himpunan bagian lainnya …

Sf​~​={s∈S ∣ ∣s∣ adalah kecil}

    dapat dipilih menjadi seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.3, di mana batas potong E

ditentukan oleh pengguna sesuai dengan kepentingannya dalam aplikasi. Fungsi keanggotaan lain ditunjukkan pada Gambar 1.4, di mana kita telah menormalkan nilai maksimumnya menjadi 1, seperti biasanya, karena 1$=100\%$ menggambarkan keanggotaan penuh dan mudah digunakan. jika kita menggunakan dua fungsi keanggotaan pada Gambar 1.5 untuk mengukur “positif dan besar” serta “negatif dan kecil,” maka seorang anggota dengan 𝑠 = 0.1 memiliki nilai keanggotaan pertama sebesar 0.095 dan yang kedua 0.08: nilai ini tidak berjumlah 1.0 atau saling meniadakan menjadi 0. Lebih jauh lagi, kedua konsep tersebut bertentangan: 𝑠 adalah positif dan pada saat yang sama negatif, sebuah situasi yang mirip seperti seseorang yang tua sekaligus muda, yang tidak dapat diterima dalam matematika klasik.

III. INTERVAL ARITMETHIC

A. Konsep Dasar

    Perhatian kita di sini adalah pada situasi ketika nilai dari suatu anggota 𝑠 s dari sebuah himpunan tidak pasti. Namun, kita berasumsi bahwa informasi mengenai nilai 𝑠 s yang tidak pasti tersebut memberikan rentang yang dapat diterima: 

$$\underset{‾}{s}\le s\le \bar{s},$$

di mana $[ \underline{s}, \overline{s} ] \subset \mathbb{R}$ disebut interval kepercayaan tentang nilai dari $s$. 

Sebagai kasus khusus, ketika $\underline{s} = \overline{s}$, kita memiliki kepastian kepercayaan $[ \underline{s}, \overline{s} ] = [s, s] = s$.

    Pada sub-bagian berikutnya, kita akan memperkenalkan aturan operasional di antara interval kepercayaan, yang penting dan bermanfaat pada dirinya sendiri dalam kaitannya dengan aplikasi rekayasa yang berhubungan dengan interval, seperti pemodelan robust, kestabilan robust, dan kendali robust. Untuk mempersiapkan hal tersebut, pertama-tama kita memberikan definisi berikut.

Definisi 1.1

(a) Kesetaraan (Equality): Dua interval $[s_1, \overline{s}_1]$ dan $[s_2, \overline{s}_2]$ dikatakan sama jika:

$$[s_1,{\bar{s}}_1]=[s_2,{\bar{s}}_2]$$

jika dan hanya jika $s_1 = s_2$ dan $\overline{s}_1 = \overline{s}_2$.

(b) Irisan (Intersection): Irisan dari dua interval $[s_1, \overline{s}_1]$ dan $[s_2, \overline{s}_2]$ didefinisikan sebagai:

$$[s_1,{\bar{s}}_1]\cap [s_2,{\bar{s}}_2]=[\max \{s_1,s_2\},\min \{{\bar{s}}_1,{\bar{s}}_2\}]$$

dan

$$[s_1,{\bar{s}}_1]\cap [s_2,{\bar{s}}_2]=\mathrm{\varnothing }$$

jika dan hanya jika $s_1 > \overline{s}_2$ atau $s_2>{\bar{s}}_{1.}$

(c) Gabungan (Union): Gabungan dari dua interval $[s_1, \overline{s}_1]$ dan $[s_2, \overline{s}_2]$ didefinisikan sebagai:

$$[s_1, \overline{s}_1] \cup [s_2, \overline{s}_2] = [\min\{s_1, s_2\}, \max\{\overline{s}_1, \overline{s}_2\}],$$

dengan syarat bahwa $[s_1, \overline{s}_1] \cap [s_2, \overline{s}_2] \neq \varnothing$. Jika tidak, maka hasilnya tidak terdefinisi (karena hasilnya bukan suatu interval).

(d) Ketidaksamaan (Inequality): Interval $[s_1, \overline{s}_1]$ dikatakan lebih kecil dari (atau lebih besar dari) interval $[s_2, \overline{s}_2]$, dilambangkan dengan:

$$[s_1,{\bar{s}}_1]<[s_2,{\bar{s}}_2]$$

(sebaliknya,

$$[s_1, \overline{s}_1] > [s_2, \overline{s}_2]).$$

(e) Inklusi: Interval $[s_1, \overline{s}_1]$ dikatakan termasuk dalam $[s_2, \overline{s}_2]$, ditulis dengan

$$[s_1,{\bar{s}}_1]\subseteq [s_2,{\bar{s}}_2]$$

jika dan hanya jika $s_2 \leq s_1$ dan $\overline{s}_1 \leq \overline{s}_2$. Ini sama artinya dengan mengatakan bahwa interval $[s_1, \overline{s}_1]$ adalah subset atau subinterval dari $[s_2, \overline{s}_2]$.

(f) Lebar: Lebar dari suatu interval $[s, \overline{s}]$ didefinisikan sebagai

$$w\{[s,\bar{s}]\}=\bar{s}-s\mathrm{.}$$

Oleh karena itu, sebuah singleton $s = [s,s]$ memiliki lebar nol:

$$w\{s\}=w\{[s,s]\}=0,$$

untuk semua $s \in \mathbb{R}$.

(g) Nilai Mutlak: Nilai mutlak dari suatu interval $[s, \overline{s}]$ didefinisikan sebagai

$$\mathrm{\mid }[s,\bar{s}]\mathrm{\mid }=\max \{\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }\bar{s}\mathrm{\mid }\}\mathrm{.}$$

Dengan demikian, nilai mutlak dari sebuah singleton $s = [s,s]$ adalah nilai mutlak biasanya:

$$\mathrm{\mid }[s,s]\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }$$

untuk semua $s \in \mathbb{R}$.

(h) Titik Tengah (mean): Titik tengah (atau rata-rata) dari suatu interval $[s, \overline{s}]$ didefinisikan sebagai

$$m\{ [s, \overline{s}] \} = \tfrac{1}{2} (s + \overline{s}).$$

(i) Simetri: Interval $[s, \overline{s}]$ dikatakan simetris jika dan hanya jika

$$s=-\bar{s}$$

atau

$$m\{[s,\bar{s}]\}=0.$$

B. Interval Aritmethic

Misalkan $[s, \overline{s}], [s_1, \overline{s}_1]$, dan $[s_2, \overline{s}_2]$ adalah interval. Aritmetika dasar dari interval didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 1.2.

(1) Penjumlahan

$$[s_1,{\bar{s}}_1]+[s_2,{\bar{s}}_2]=[s_1+s_2,{\bar{s}}_1+{\bar{s}}_2]\mathrm{.}$$

(2) Pengurangan

$$[s_1,{\bar{s}}_1]-[s_2,{\bar{s}}_2]=[s_1-{\bar{s}}_2,{\bar{s}}_1-s_2]\mathrm{.}$$

(3) Resiprokal (kebalikan)
Jika $0 \notin [s, \overline{s}]$ maka

$$[s,\bar{s}{]}^{-1}=[1\mathrm{/}\bar{s},1\mathrm{/}s];$$

jika $0\in [s,\bar{s}]\; maka$$[s, \overline{s}]^{-1}$ tidak terdefinisi.

(4) Perkalian

[s1​,s1​]⋅[s2​,s2​]=[p,p​].

Di sini,

$$p = \min \{ s_1 s_2, \; s_1 \overline{s}_2, \; \overline{s}_1 s_2, \; \overline{s}_1 \overline{s}_2 \},$$
$$\overline{p} = \max \{ s_1 s_2, \; s_1 \overline{s}_2, \; \overline{s}_1 s_2, \; \overline{s}_1 \overline{s}_2 \}.$$

(5) Pembagian

$$[s_1,{\bar{s}}_1]\mathrm{/}[s_2,{\bar{s}}_2]=[s_1,{\bar{s}}_1]\cdot [s_2,{\bar{s}}_2{]}^{-1},$$

dengan syarat $0 \notin [s_2, \overline{s}_2]$.
    

    semua aturan operasi ini didefinisikan secara konservatif dengan maksud membuat interval hasil sebesar yang diperlukan untuk menghindari hilangnya solusi yang benar.

Sebagai contoh,
$[1,2] - [0,1] = [0,2]$
berarti untuk setiap $a \in [1,2]$ dan setiap $b \in [0,1]$, dijamin bahwa

$$a-b\in [0,2]\mathrm{.}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}\mathrm{<br><br>}$$

[1,2]−[1,2]=[−1,1]=[0,0]=0.

    Hasil $[-1,1]$ di sini memang memuat 0, tetapi bukan hanya 0. Alasannya adalah karena ada kemungkinan solusi lain: jika kita mengambil 1,5 dari interval pertama dan 1,0 dari interval kedua, maka hasilnya adalah 0,5 bukan 0; dan 0,5 memang termasuk dalam $[-1,1]$.

C. Sifat Aljabar dari Aritmetika Interval

D. Teori Ukuran dari Interval

    Pada subbagian ini, kita hanya memperkenalkan pengertian jarak dalam kaitannya dengan teori ukuran untuk sebuah keluarga interval.

Definisi 1.3. Misalkan $X = [x, \overline{x}]$ dan $Y = [y, \overline{y}]$ adalah interval. Jarak antara $X$ dan $Y$ didefinisikan oleh

$$d(X,Y) = \max \{ |x-y|, \; |\overline{x} - \overline{y}| \}.$$

Dapat diverifikasi bahwa fungsi variabel-himpunan $d(\cdot,\cdot)$ memenuhi sifat-sifat berikut:

1. $d(X,Y) \geq 0$, dan $d(X,Y) = 0$ jika dan hanya jika $X = Y$;

2. $d(X,Y) \leq d(X,Z) + d(Z,Y)$ untuk setiap interval $Z$ (ketaksamaan segitiga).

Ketaksamaan segitiga dapat diverifikasi sebagai berikut:

d(X,Z)+d(Z,Y) ...

                                =max{∣x−z∣,∣x−z∣}+max{∣z−y∣,∣z−y​∣}

                                ≥max{∣x−z∣+∣z−y∣,∣x−z∣+∣z−y​∣}

                                ≥max{∣x−y∣,∣x−y​∣}

                                =d(X,Y)

$$<br>$$

Untuk bilangan real $x$ dan $y$, jarak ini menyederhana menjadi bentuk standar:

$$d([x,x],[y,y])=\mathrm{\mid }x-y\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

    Dapat juga diverifikasi bahwa fungsi jarak interval $d(\cdot,\cdot)$ yang didefinisikan di sini menimbulkan sebuah metrik, yaitu metrik Hausdorff, yang merupakan generalisasi dari jarak antara dua titik tunggal dalam ruang metrik biasa.

    Faktanya, untuk himpunan kompak tak kosong $X$ dan $Y$ dari bilangan real, termasuk interval, jarak Hausdorff didefinisikan oleh

$$h(X,Y) = \max \Big\{ \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X} d(x,y), \; \sup_{x \in X} \inf_{y \in Y} d(x,y) \Big\}.$$

E. Sifat-sifat Lebar dari Suatu Interval

    Dalam sub-bagian ini, kita merangkum beberapa sifat menarik dan berguna dari lebar sebuah interval, yang didefinisikan pada Definisi 1.1 (f), sebagai berikut.
Untuk sebuah interval $S = [\underline{s}, \overline{s}]$, lebar dari $S$ adalah

$$w(S)=\bar{s}-\underset{‾}{s},$$

yang ekuivalen dengan

$$w(S)=\underset{s_1,s_2\in S}{\max }\mathrm{\mid }{s}_1-s_2\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

    Selain sifat-sifat yang sudah tercantum dalam Problem P1.2, kita memiliki hal berikut:

Teorema 1.9. Misalkan $X$ dan $Y$ adalah interval, maka:

    1. $w(XY)\le w(X)|Y|+|X|w(Y)$;

    2. $w(XY)\ge \max \{|X|w(Y),|Y|w(X)\}$;

    3. w(Xn)≤n∣X∣n−1w(X),n=1,2,…;

    4. w((X−x)n)≤2(w(X))n,x∈X,n=1,2,….

Untuk (1), menggunakan definisi ekuivalen $w(S) = \max_{s_1, s_2 \in S} |s_1 - s_2|$, kita peroleh:

$$w(XY)=\underset{x_1,x_2\in X,y_1,y_2\in Y}{\max }\mathrm{\mid }{x}_1{y}_1-x_2{y}_2\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Lalu langkah demi langkah ditunjukkan hingga diperoleh:

$$w(XY)\le \mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }w(Y)+w(X)\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$

Untuk (2), kita punya:

$$w(XY)=\underset{x_1,x_2\in X,y_1,y_2\in Y}{\max }\mathrm{\mid }{x}_1{y}_1-x_2{y}_2\mathrm{\mid }\ge \underset{x_1,x_2\in X,y\in Y}{\max }\mathrm{\mid }{x}_{1}y-x_{2}y\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }Y\mathrm{\mid }w(X)\mathrm{.}$$

Demikian pula bisa ditunjukkan bahwa

$$w(XY)\ge \mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }w(Y)\mathrm{.}$$

Sehingga diperoleh ketidaksamaan (2).

Untuk (3), kita gunakan induksi matematika. Pertama, untuk $n=1$, ketidaksamaan berlaku. Jika benar untuk $n\ge \mathrm{1,\; maka\; hasil\; ini\; mengikuti\; dari\; bagian\; (1)\; di\; atas.}$

F. Evaluasi Interval

Dalam sub-bagian ini, kita memperluas fungsi real-variabel dan real-valued $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ke fungsi interval-variabel dan interval-valued $f:I\to \mathrm{I,\; di\; mana }$$I$ adalah himpunan semua interval. Hal ini akan lebih jauh memperluas fungsi

$$Z=\{X\sigma Y:X,Y\in I,\sigma \in \{+,-,\times ,÷\}\},$$

yang telah kita bahas pada Bagian II.C.

Pertama, kita mengingat kembali Korolari 1.3 dari Bagian II.C bahwa untuk setiap fungsi kontinu biasa $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dan setiap interval $X \in I$, fungsi interval-variabel dan interval-valued

$$f(X)=[\underset{x\in X}{\min }f(x),\underset{x\in X}{\max }f(x)]$$

juga kontinu dalam metrik interval.

Untuk setiap interval $X \in I$, kita pertimbangkan sebuah fungsi

$$f(x;a_1,\dots ,a_m),$$

yang bergantung pada $X$, dengan parameter $a_k \in A_k, k = 1, 2, \ldots, m$.

Kita definisikan ekspresi interval dari $f$ sebagai:

$$f(X;A_1,\dots ,A_m)=\{f(x;a_1,\dots ,a_m)\mathrm{\mid }x\in X,a_k\in A_k,1\le k\le m\}\mathrm{.}$$

Dengan kata lain:

$$f(X; A_1, \ldots, A_m) = \Big[ \min_{x \in X,\, a_k \in A_k,\, 1 \leq k \leq m} f(x; a_1, \ldots, a_m), \; \max_{x \in X,\, a_k \in A_k,\, 1 \leq k \leq m} f(x; a_1, \ldots, a_m) \Big].$$

    Selanjutnya, kita selalu mengasumsikan bahwa sebuah ekspresi interval dapat diselesaikan dalam jumlah langkah yang terbatas. Dalam hal ini, ekspresi tersebut disebut ekspresi interval hingga (finite interval expression). Lebih jauh lagi, kita hanya mempertimbangkan ekspresi interval hingga yang terdiri dari operasi dasar (basic rational operations), yaitu: penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Sebuah ekspresi interval dari jenis ini disebut ekspresi interval rasional (rational interval expression), yang secara serupa didefinisikan untuk kasus fungsi bernilai ganda (multi-valuable).

G. Operasi Matriks Interval

    Ketika beberapa entri dari sebuah matriks konstan tidak pasti, yaitu ketika entri-entri tersebut berupa interval alih-alih angka pasti, maka matriks tersebut menjadi sebuah matriks interval.
Sebagai contoh, dua matriks berikut adalah matriks interval:

$$A_1=\left[\begin{array}{cc}[2,3]& [0,1]\\ [1,2]& [2,3]\end{array}\right],B_1=\left[\begin{array}{c}[0,120]\\ [60,140]\end{array}\right]\mathrm{.}$$

Dua matriks interval $n \times m$, $A_1 = [A_1(i,j)]$ dan $B_1 = [B_1(i,j)]$, dikatakan sama jika $A_1(i,j) = B_1(i,j)$ untuk semua $1 \leq i \leq n$ dan $1 \leq j \leq m$. Demikian juga, $A_1$ dikatakan terkandung dalam $B_1$, dilambangkan $A_1 \subseteq B_1$, jika $A_1(i,j) \subseteq B_1(i,j)$ untuk semua $1 \leq i \leq n$ dan $1 \leq j \leq m$. Secara khusus, jika $A$ adalah matriks konstan (biasa) yang terkandung dalam $B_1$, maka kita tulis $A \subseteq B_1$.

Operasi dasar matriks interval didefinisikan sebagai berikut:

(1) Penjumlahan dan Pengurangan
Misalkan $A_1$ dan $B_1$ adalah matriks interval berukuran $n \times m$. Maka:

$$A_1\pm B_1=[A_1(i,j)\pm B_1(i,j)]\mathrm{.}$$

(2) Perkalian
Misalkan $A_1$ dan $B_1$ adalah matriks interval berukuran $n \times r$ dan $r \times m$. Maka:

$$A_1{B}_1=[\sum _{k=1}^r{A}_1(i,k)B_1(k,j)]\mathrm{.}$$

Secara khusus, jika $B_1 = X$ adalah sebuah interval, maka kita definisikan:

$$A_{1}X=X{A}_1=[X{A}_1(i,j)]\mathrm{.}\mathrm{<br>}\mathrm{<br>}$$

    Misalkan $A$ dan $B$ adalah dua matriks konstan, dan $A_1$ serta $B_1$ adalah dua matriks interval dengan dimensi yang sesuai. Jika $A \in A_1$ dan $B \in B_1$, maka berlaku:

$$\{AB\mathrm{\mid }A\in A_1,B\in B_1\}\subseteq \{C\mathrm{\mid }C\in A_1{B}_1\}\mathrm{.}$$

Hubungan ini dapat diverifikasi dengan menggunakan sifat inklusif monoton dari operasi interval.

Contoh 1.8

Misalkan

$$A = A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad B_1 = \begin{bmatrix} [0,1] \\ [0,1] \end{bmatrix}.$$

Maka diperoleh:

$$A B_1 = \begin{bmatrix} [0,2] \\ [-1,1] \end{bmatrix}.$$

H. Persamaan Matriks Interval & Inverse Matriks Interval

Dalam bagian ini, kita mempertimbangkan masalah penyelesaian persamaan matriks interval, yaitu, mencari matriks solusi $X_I$ sedemikian sehingga untuk matriks interval yang diberikan $A_I$ dan $B_I$, kita memiliki:

$$A_I X_I = B_I$$

Biasanya, $B_I$ adalah vektor interval, dan begitu juga $X_I$ (jika ada). Misalkan:

$$S = \{ X \mid AX = B, A \in A_I, B \in B_I \}$$

adalah himpunan solusi dari masalah tersebut. Jika masalah ini tidak memiliki solusi, maka $S = \emptyset$. Untuk mendapatkan gambaran mengenai masalah umum dalam menyelesaikan persamaan matriks interval, pertama-tama kita mempertimbangkan contoh spesifik berikut.

Contoh 1.9. Misalkan

$$A_I = \begin{bmatrix} [2,3] & [0,1] \\ [1,2] & [2,3] \end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad B_I = \begin{bmatrix} [0,120] \\ [60,240] \end{bmatrix}.$$

Temukan $X_I = \begin{bmatrix} X_I(1) \\ X_I(2) \end{bmatrix}$ dengan $X_I(1) \geq 0$ dan $X_I(2) \geq 0$ sehingga $A_I X_I = B_I$.

[[2,3]XI​(1)+[0,1]XI​(2)=[0,120][1,2]XI​(1)+[2,3]XI​(2)=[60,240]​]

yang menyiratkan bahwa:

0≤2XI​(1)≤120,

0≤3XI​(1)+XI​(2)≤120,

60≤XI​(1)+2XI​(2)≤240,

60≤2XI​(1)+3XI​(2)≤24

$$\mathrm{<div\; style="text-align:\; left;"><br></div>}0\le 3XI(1)+XI(2)\le 120,$$

Jika $X_I = X$ adalah vektor konstan dalam himpunan solusi $S$, maka ia harus memenuhi sifat bahwa interval di sisi kiri dari persamaan $A_I X_I = B_I$ berpotongan dengan interval di sisi kanan dari persamaan tersebut. Dari sini, diperoleh pertidaksamaan pertama:

$$X_I(1) \geq 0 \quad \text{dan} \quad X_I(1) \leq 60.$$

Karena $X_I(2) \geq 0$ berdasarkan asumsi, maka kita lihat bahwa pertidaksamaan kedua:

$$0 \leq 3X_I(1) + X_I(2)$$

terpenuhi. Kemudian kita melihat semua kasus ekstrem (garis batas):

• (a) $X_I(1) = 0$

• (b) $X_I(2) = 0$

• (c) $X_I(1) = 60$

• (d) $3X_I(1) + X_I(2) = 120$

• (e) $X_I(1) + 2X_I(2) = 60$

• (f) $X_I(1) + 2X_I(2) = 240$

• (g) $2X_I(1) + 3X_I(2) = 60$

• (h) $2X_I(1) + 3X_I(2) = 240$

yang kemudian menghasilkan hasil-hasil berikut (catat bahwa $X_I(1) = X_I(2) = 0$ bukan solusi):

• (i) $X_I(1) = 0$ (dari (a)), dan
  $X_I(2) = 120$ (dari (d))
  ⇒ $(X_I(1), X_I(2)) = (0, 120)$

• $X_I(2) = 30$ (dari (e))
  ⇒ $(X_I(1), X_I(2)) = (0, 30)$

• $X_I(2) = 120$ (dari (f))
  ⇒ $(X_I(1), X_I(2)) = (0, 120)$

• $X_I(2) = 20$ (dari (g))
  ⇒ $(X_I(1), X_I(2)) = (0, 20)$

• XI​(2)=80 (dari (h))
  ⇒ $(X_I(1), X_I(2)) = (0, 80)$

(ii)

• $X_I(1) = 60$ (dari (c)), dan
  $X_I(2) = -60$ (dari (d)) ⇒ bertentangan dengan $X_I(2) \geq 0$

• $X_I(2) = 0$ (dari (e))
  ⇒ $(X_I(1), X_I(2)) = (60, 0)$

• $X_I(2) = 90$ (dari (f))
  ⇒ $(X_I(1), X_I(2)) = (60, 90)$

• $X_I(2) = -20$ (dari (g)) ⇒ bertentangan dengan $X_I(2) \geq 0$

• $X_I(2) = 40$ (dari (h))
  ⇒ $(X_I(1), X_I(2)) = (60, 40)$

(iii)

• $X_I(2) = 0$ (dari (b)), dan
  $X_I(1) = 40$ (dari (e))
  ⇒ $(X_I(1), X_I(2)) = (40, 0)$

• $X_I(1) = 60$ (dari (f))
  ⇒ $(X_I(1), X_I(2)) = (60, 0)$

• $X_I(1) = 240$ (dari (g)) ⇒ bertentangan dengan $X_I(1) \leq 60$

• $X_I(1) = 30$ (dari (h))
  ⇒ $(X_I(1), X_I(2)) = (30, 0)$

• $X_I(1) = 120$ (dari (h)) ⇒ bertentangan dengan $X_I(1) \leq 60$

    Himpunan solusi $S$ terletak di dalam semua garis batas ini, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.7.

IV. OPERATIONS ON FUZZY SETS

A. Fuzzy Subsets

    Misalkan $S_f$ adalah himpunan fuzzy yang didefinisikan dalam himpunan semesta $S$, bersama dengan fungsi keanggotaan $\mu_{S_f}(s)$, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.9.

Definisi 1.8

Dua himpunan bagian, $S_\alpha$ dan $\bar{S}_\alpha$, dari $S_f$ didefinisikan sebagai:

$$S_\alpha = \{ s \in S_f \mid \mu_{S_f}(s) > \alpha \}, \quad \alpha \in [0,1)$$$$\bar{S}_\alpha = \{ s \in S_f \mid \mu_{S_f}(s) \geq \alpha \}, \quad \alpha \in (0,1]$$

Gambar 1.9:
Sebuah fungsi keanggotaan yang diasosiasikan dengan sebuah himpunan fuzzy.

Himpunan-himpunan ini disebut sebagai potongan-α kuat (strong α-cut) dan potongan-α lemah (weak α-cut), masing-masing.

Konsep potongan-α divisualisasikan dalam Gambar 1.10.

Kami mencatat bahwa potongan-α lemah juga disebut sebagai himpunan level-α (α level-set), yang secara umum lebih mudah untuk digunakan. Kami juga mencatat bahwa jika fungsi keanggotaan bersifat kontinu, maka pembedaan antara potongan-α kuat dan lemah tidak diperlukan dalam aplikasi. Kami hanya menggunakan himpunan level-α.

Sebuah himpunan fuzzy $S_f$ dari $S = \mathbb{R}$ dikatakan cembung (convex) jika dan hanya jika setiap himpunan biasa (yaitu himpunan level-α)

$$\bar{S}_\alpha = \{ s \in S_f \mid \mu_{S_f}(s) \geq \alpha \}, \quad \alpha \in (0,1]$$

adalah cembung, yaitu, untuk setiap $s_1, s_2 \in S_f$ dan sembarang $\lambda \in [0,1]$,

$$\mu_{S_f}(\lambda s_1 + (1 - \lambda)s_2) \geq \min\{ \mu_{S_f}(s_1), \mu_{S_f}(s_2) \}.$$

Kami mencatat bahwa dalam Gambar 1.10, $S_{0.8}$ adalah cembung, tetapi $S_{0.6}$ tidak. Jika $S = \mathbb{R}$ dan fungsi keanggotaan kontinu, maka himpunan level-α dari himpunan fuzzy cembung adalah interval tertutup.

Untuk melanjutkan lebih jauh, kita memerlukan beberapa notasi baru. Untuk dua bilangan real $s_1$ dan $s_2$, kita definisikan:

$$\begin{cases} s_1 \wedge s_2 = \min\{s_1, s_2\}, \\ s_1 \vee s_2 = \max\{s_1, s_2\}. \end{cases}$$

Ingat juga bahwa untuk sebuah himpunan S⊂R, fungsi karakteristik biasa (ordinary characteristic function) didefinisikan dengan

Persamaan

Dengan melakukan hal tersebut, kita telah memperluas domain dan kodomain dari suatu fungsi biasa, dari himpunan biasa menjadi himpunan fuzzy. Inilah yang disebut Prinsip Ekstensi (Extension Principle) yang penting, di mana $f$ disebut sebagai fungsi yang diperluas (extended function).

B. Bilangan Fuzzy dan Aritmetika

    Untuk suatu himpunan fuzzy normal, di mana fungsi keanggotaannya adalah konveks dan mencapai nilai maksimum 1, jika himpunan fuzzy tersebut juga konveks dan α-cut (α level-set)-nya adalah interval tertutup, maka himpunan tersebut disebut bilangan fuzzy (fuzzy number). Maka, sebuah:

    Bilangan fuzzy adalah himpunan fuzzy konveks, yang memiliki fungsi keanggotaan yang telah dinormalisasi dan merepresentasikan suatu interval kepercayaan.

Kami menyatakan bahwa himpunan fuzzy dengan himpunan bagian $[0, \infty)$ dan fungsi keanggotaan terkait $\mu(x) = 1 - e^{-x}$, dianggap sebagai himpunan fuzzy normal. Meskipun fungsi keanggotaan tersebut tidak mencapai nilai maksimum 1, ia mendekati 1 sebagai limit. Dalam buku ini, semua himpunan fuzzy seperti itu dianggap sebagai normal.

Untuk aritmetika bilangan fuzzy, ada suatu aturan umum:

-     Aturan Umum (The General Rule)

Misalkan $S_x$ dan $S_y$ adalah dua himpunan fuzzy dari himpunan semesta $S$, dengan $Z \subseteq \mathbb{R}$, dan kita pertimbangkan suatu fungsi ekstensi dua variabel:

$$F: S_x \times S_y \rightarrow Z$$

Misalkan $S_z$ adalah citra dari $F$, yaitu suatu himpunan fuzzy dari $Z$ seperti yang telah dibahas di atas.

Diberikan fungsi keanggotaan ${\mu }_{{}_{}}$Sx(x)\mu_{S_x}(x), $\mu_{S_y}(y)$, dan $\mu_{S_z}(z)$ sebagai fungsi keanggotaan masing-masing, maka:

Alasan memilih nilai yang lebih kecil dalam definisi ini adalah karena ketika ada dua tingkat kepercayaan yang berbeda terhadap dua peristiwa, maka tingkat kepercayaan terhadap kedua peristiwa tersebut secara bersamaan menjadi lebih rendah. Menggunakan notasi α-cut, hal ini setara dengan:

$$(S_z)_{\bar{\alpha}} = F\left((S_x)_{\bar{\alpha}}, (S_y)_{\bar{\alpha}}\right)$$$$= \{ z \in S_z \mid z = F(x, y),\ x \in (S_x)_{\bar{\alpha}},\ y \in (S_y)_{\bar{\alpha}} \}$$

Sekarang, diberikan dua bilangan fuzzy $\tilde{x}$ dan $\tilde{y}$, yang merupakan himpunan fuzzy normal dan konveks, masing-masing dengan himpunan fuzzy $S_x$ dan $S_y$, serta fungsi keanggotaan masing-masing $\mu_{S_x}$ dan $\mu_{S_y}$, kita pertimbangkan sebuah fungsi dua variabel:

$$F : X \times Y \rightarrow Z$$

yang didefinisikan oleh $z = F(x, y)$, dengan $x \in S_x$, $y \in S_y$, sesuai dengan aturan operasi umum.

(1) Penjumlahan (Addition)

Misalkan $z = F(x, y) = x + y$. Maka:

$$\tilde{z} = \tilde{x} + \tilde{y}$$

dengan:

$$S_z = \{ z \in Z \mid z = x + y, \ x \in S_x, \ y \in S_y \}$$

dan

$$\mu_{S_z}(z) = \sup_{z = x + y} \{ \mu_{S_x}(x) \wedge \mu_{S_y}(y) \}$$

Dalam notasi α-cut:

$$(S_z)_{\bar{\alpha}} = F\left( (S_x)_{\bar{\alpha}},\ (S_y)_{\bar{\alpha}} \right) = (S_x)_{\bar{\alpha}} + (S_y)_{\bar{\alpha}}$$

 4.Percobaan[kembali]

• Mulai Matlab
• Masukkan operasi yang ingin dilakukan
• Simpan Codinganya
• Run coding operasi pada Matlab

5. Video[kembali]

 6.Download[kembali]